Moto Curvilineo

Se pensiamo ad un generico punto mobile che descrive una traiettoria curva, notiamo come sia possibile scomporre il vettore accelerazione a lungo le due componenti T ed N, direzioni rispettivamente tangente e normale alla curva nel punto e nell'istante in cui stiamo valutando il corpo mobile. Se consideriamo   il versore (vettore di modulo unitario) della direzione T possiamo qualificare la velocità con la notazione:

Quando la particella è in moto, il modulo della velocità può cambiare e questo cambiamento viene riportato dall'accelerazione tangenziale aT. Quando cambia la direzione della velocità, si ha una accelerazione normale aN alla traiettoria. Variazione del modulo di v => aT Variazione di direzione di v => aN Per definizione è :

Se il moto fosse rettilineo u_T sarebbe costante in intensità e direzione con     ma se la traiettoria non è rettilinea la direzione di u_T cambia lungo la stessa, implicando  .
Con riferimento alla generica traiettoria illustrata sopra:



Derivando rispetto al tempo u_T:



Questo significa che    è normale alla curva; sapendo che:  

Se ρ=CA è il raggio della curvatura, dalla geometria si ha  
     per cui:



Per il moto curvilineo avremo:

                                        

Se il moto curvilineo in esame è uniforme (v=cost.) a_T=0 (non esiste accelerazione tangenziale). Se il moto è rettilineo si ha ρ=∞ e abbiamo a_N=0.

Moto circolare

Si ha quando il corpo mobile descrive una traiettoria a forma di circonferenza, la distanza del mobile dal centro della circonferenza è detto raggio di rotazione R.

Il moto rotatorio (o circolare) si dice uniforme quando il mobile percorre archi uguali in tempi uguali, cioè quando la velocità di rotazione è costante. La velocità v essendo tangente al cerchio è perpendicolare al raggio, dalla geometria sappiamo che per ogni arco s preso in considerazione vale la relazione s=R·θ considerando che R=cost. applichiamo la definizione di velocità:

  viene definita, qui, la quantità     che in termini di infinitesimi può essere rappresentata come:

  
essa viene espressa in [rad/sec] avremo dunque:

La velocità angolare può essere espressa come quantità vettoriale la cui direzione è perpendicolare al piano del moto nel senso di avanzamento di una vite destrorsa che ruoti nel senso di rotazione del punto mobile. In tal caso la velocità periferica può essere espressa come il prodotto vettoriale fra la velocità angolare e il vettore r (distanza fra il punto mobile e il punto O origine del sistema di riferimento)    mentre il modulo di v vale:

Questa espressione è valida esclusivamente per il moto rotatorio con r e γ costanti. Notiamo che per il punto C continua a valere la:



Infatti in tal caso γ=90° e r=R.

Nel moto circolare se ω=cost. si ha il moto circolare uniforme.
Si tratta di un moto periodico; definiamo:

T=Periodo: tempo per effettuare un giro completo
f=Frequenza: quantità di giri effettuati in un secondo

Se nel tempo t il corpo mobile compie n giri:



Dalle definizioni date abbiamo:

  per un giro completo:   

Se il corpo mobile compie n giri in un minuto (rpm) :t=60(sec): e        ed otteniamo:

                        dato che                                    



Esempio:
Il cono puleggia in figura compie 300 giri al minuto. Calcolare la sua velocità angolare in rad/s e la velocità periferica delle due pulegge che costituiscono il cono Φ₁=300mm Φ₂=190mm

Φ₁=300mm=0,3m
Φ₂=190mm=0,19m

Esempio:
Un'auto marcia alla velocità di 108 km/h. Il diametro delle ruote è di 50 cm, quanti giri al minuto compiono?

                            


Accelerazione angolare

L'accelerazione angolare è la variazione della velocità angolare nel tempo.



Dato che il moto circolare è piano α ha la stessa direzione di ω e in modulo:



Per conoscere la velocità angolare e l'angolo percorso dal punto mobile si ha (dall'analisi):



Sostituendo ulteriormente:



Per il moto puramente circolare combinando la                      con la

             e con la                      

Possiamo ottenere:

Si osserva come nel moto circolare uniforme (con α=0) non c'è accelerazione tangenziale, ma permane l'accelerazione normale (centripeta) dovuta alla variazione in direzione della velocità.

         ma               quindi:

Essendo il moto circolare uniforme l'accelerazione ottenuta è quella normale detta anche accelerazione centripeta.

Esempio:
Calcolare l'accelerazione centripeta di una cinghia trapezoidale, avvolta su una puleggia di raggio R=60mm, la quale compie 600 g/m.

R=6cm =0,06m

      quindi: