Relazioni e funzioni

Il termine funzione è presente non solo in matematica ma anche in tutte le altre scienze per cui, premettiamo alcune osservazioni. In molti fenomeni certe grandezze variano; cioè sono suscettibili di assumere diversi valori numerici mentre altre possono conservare sempre lo stesso valore numerico.

Lo studio dei diversi fenomeni naturali e la risoluzione di molteplici problemi tecnici e matematici, porta a considerare la variazione di una grandezza in corrispondenza alla variazione di un’altra grandezza.

a La misura y di una circonferenza dipende dalla misura x del raggio x.

$y=2π\,x$

b A temperatura costante il volume di un gas dipende dalla pressione x

$$y=k/x$$ dove $k$ è un'opportuna costante

c La forza y applicata per allungare una molla dipende dall'allungamento x che si vuole ottenere sulla molla stessa

$y=kx$ con $k$ costante elastica della molla.

In questi casi, cioè quando il valore di y dipende da quello fissato per la x, si dice che y è funzione numerica della variabile x o, più semplicemente, che y è funzione di x.

Risulta, pertanto, chiaro come una funzione deve essere interpretata come una relazione tra due grandezze.

Si chiama grandezza variabile, o variabile una grandezza che può assumere diversi valori numerici. Una grandezza i cui valori numerici non cambiano è detta grandezza costante o costante. La convenzione vuole che le variabili siano indicate con le ultime lettere dell'alfabeto (x, y, z, etc..) mentre le costanti con le prime lettere dell'alfabeto (a, b, c, etc,..).

Dagli esempi fatti è altrettanto evidente come una funzione sia in grado di creare un legame tra due grandezze tra loro eterogenee cioè appartenenti ad insiemi diversi: ad esempio lo spazio $y$ percorso da un treno che viaggia a velocità costante $v$ dipende dal tempo $x$ $(y=v·x)$. In questo caso la variabile y appartiene all'insieme 'spazio' che viene misurato in metri mentre l'insieme 'tempo' viene misurato in secondi.

La parola 'insieme' è usata sia nel linguaggio comune che in matematica per indicare un raggruppamento o una collezione omogenea di elementi, questi possono essere oggetti, individui ed anche grandezze numeriche . Infatti già nelle pagine precedenti abbiamo fatto riferimento all'

1 insieme dei numeri naturali N
2 insieme dei numeri interi relativi Z
3 insieme dei numeri numeri razionali Q
4 insieme dei numeri numeri reali R

ma possono essere considerati insiemi anche

● i fiumi italiani più lunghi di 100 km
● i punti di una retta
● i capoluoghi di provincia di una qualsiasi regione italiana

Si intuisce che il numero di elementi che appartiene ad un insieme può essere finito (come nel caso dei fiumi) oppure infinito (come nel caso dei punti appartenenti ad una retta). Si parla, in tal caso, di insieme finito oppure di insieme infinito.

Generalmente gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole A, B, C. . . , Z.
Gli elementi appartenenti ad un insieme si indicano invece con le lettere minuscole a, b, c. . . , z.
Se un elemento b appartiene all'insieme B si deve usare il simbolo di appartenenza ∈ e si scrive b ∈ B mentre se un elemento y non appartiene all'insieme B si scrive y ∉ B.

L'origine delle funzioni può essere ricondotto, come è stato suggerito in precedenza, alle relazioni che possono intercorrere tra due insiemi.

Una relazione dall'insieme A all'insieme B è una legge che associa ad elementi di A elementi di B.

Ipotizziamo ad esempio l'insieme A={1, 2, 3} mentre B={1, 3, 5, 7} e la legge { x ∈ A è in relazione con y ∈ B se e solo se x ≥ y }.
Verranno individuate le seguenti coppie ordinate {(1, 1) , (2, 1) , (3, 1) , (3, 3)} e si può rappresentare la questione nel seguente modo:

è dunque possibile pensare ad una relazione come ad una legge di associazione tra due insiemi.

Funzioni

Una relazione da A a B che associa ogni elemento di A ad un solo elemento di B, viene detta relazione funzionale o funzione o applicazione.

per indicare una funzione f che va da A a B scriveremo

dove A si chiama dominio o insieme di esistenza o insieme di definizione mentre B viene chiamato insieme di arrivo o codominio.

E' evidente che il concetto di funzione è più restrittivo di quello di relazione, nel senso che, mentre ogni funzione è una relazione, non è vero il viceversa, basta osservare l'esempio appena fatto dove ad un elemento di A (il 3) risulta associato più di un elemento di B. Se ad un elemento di A non è associato alcun elemento di B oppure gli sono associatidue o più elementi, la relazione non è una funzione. Per questo motivo si dice che una funzione da A a B è una corrispondenza univoca.

Se rappresentiamo una funzione mediante un diagramma a frecce vediamo che da ogni punto che rappresenta n elemento di A esce una ed una sola freccia.

Se qualche elemento di A non è in relazione con alcun elemento di B come si vede nel seguente disegno, la relazione non è una funzione.

Oppure se qualche elemento di A è in relazione con due o più elementi di B , la relazione non è una funzione.

Se la funzione f associa a x∈ A y ∈ B si scrive

e si legge " y uguale a f di x" . Quindi la scrittura y=f(x) significa che l'elemento x ∈ A è messo in corrispondenza attraverso f con l'elemento y ∈ B : y si chiama immagine di x mentre x si chiama controimmagine di y, sempre mediante f. Per esprimere brevemente che l'elemento generico del dominio A, ha come immagine l'elemento y del dominio B, solitamente si dice che:
● x è la variabile indipendente
● y è la variabile dipendente

Classificazione delle funzioni

Le funzioni di variabile reale che possono essere assegnate mediante un'espressione analitica possono essere riassunte nel seguente schema

classificazione delle funzioni matematiche

La funzione è algebrica se l'espressione analitica y=f(x) che la esprime contiene soltanto, nella variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

Una funzione algebrica, poi, può essere classificata come:

● razionale intera (o polinomiale) se espressa mediante un polinomio; in particolare se il polinomio è di primo gradorispetto alla variabile x, la funzione si dice lineare, ad es.

se il polinomio in x è di secondo grado, la funzione è detta quadratica, ad es.

● razionale fratta se è espressa tramite quozienti di polinomi nella forma

con N(x) e D(x) polinomi di x.

● irrazionale se la variabile indipendente x appare sotto il segno di radice, ad es.

oppure

Se una funzione non è algebrica, essa si dice trascendente. Si tratta di una categoria di funzioni più ampia di quella delle funzioni algebriche, in essa sono comprese le funzioni goniometriche e le loro inverse, le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche, ad es.

Dominio di esistenza

Il dominio di esistenza di una funzione, espressa analiticamente, è l'insieme dei valori della variabile indipendente x, per i quali hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore corrispondente della y. Il dominio di esistenza viene brevemente indicato con la lettera D; talvolta esso viene anche chiamato campo di esistenza, abbreviato C.E. La definizione formale di dominio di esistenza può essere enunciata nel seguente modo.

Data la funzione a variabile reale $y=f(x)$ si chiama dominio o campo di esistenza della funzione l'insieme dei numeri reali che si possono attribuire alla variabile $x$ perchè esista il corrispondente valore di $y$. L'insieme dei valori assunti dalla $y$ è detto codominio della funzione $y=f(x)$.

Per la determinazione del dominio occorre ricordare quanto segue:

1 le operazioni di addizione, sottrazione, e prodotto sono sempre possibili; quindi le funzioni razionali intere, cioè i polinomi hanno come campo di esistenza l'intero insieme dei numeri reali R.

2 l'operazione di divisione non ha significato se il divisore è nullo; quindi le funzioni razionali fratte hanno per insieme di definizione tutti i numeri reali tranne quelli che eventualmente annullano il denominatore.

3 l'operazione di estrazione di radice di indice pari ha risultato reale se il radicando è positivo o nullo.

4 l'operazione di estrazione di radice di indice dispari ha sempre senso purchè esista il radicando.

5 il logaritmo ha significato e l'argomento è positivo e purché la base sia un numero positivo diverso da 1.

6 l'esponenziale con base (costante) positiva esiste purché esista l'esponente (variabile).

7 la potenza avente per esponente una costante irrazionale positiva si considera solo per valori positivi o nulli della base variabile

8 la potenza con base ed esponente variabili si considera solo per valori positivi della base.

9 le funzioni goniometriche y=sin x ed y=cos x esistono per ogni valore di x reale, mentre y=tg x esiste solo per x ≠ π/2+kπ e y=cotg x per x ≠ kπ (con k ∈ Z insieme dei numeri interi)

10 le funzioni y=arcsin x e y=arccos x sono definite per -1 ≤ x ≤ 1 mentre y=arctg x e y=arcotg x esistono ∀ x ∈ R (per ogni valore di x appartenenete al campo reale).

La seguente tabella riassume le principali eventualità.

Riportiamo qualche esempio di determinazione del dominio di esistenza di una funzione matematica.

esempio 1

si tratta di una funzione razionale intera, in quanto f(x) è un polinomio, il dominio è tutto l'asse reale cioè

esempio 2

è una funzione razionale fratta del tipo e deve essere $D(x) ≠ 0$ allora

e si scrive

esempio 3

è una funzione irrazionale dove la condizione di esistenza consiste nella disuguaglianza

con essa viene esclusa l'eventualità $x+3=0$ che annullerebbe il denominatore della frazione rendendola priva di significato. Da essa si deduce

esempio 4

è una funzione trascendente logaritmica, dove la condizione di esistenza è

l'espressione presente all'argomento è rappresentativa di una parabola che ha concavità rivolta verso l'alto che interseca l'asse x delle ascisse nei due punti x=1 ed x=2

essa è positiva per $x < 1$ ed $x > 2$ dunque: $D≡(-∞;1)∪(2;+∞)$.

Intervallo

Nella rappresentazione sintetica che si fa del dominio di una funzione, si usa una simbologia particolare per indicare gli intervalli di esistenza della stessa che qui ricordiamo schematicamente.

Intervallo limitato
Si chiama intervallo limitato di estremi a e b l'insieme dei numeri reali x per i quali si verifichi una delle seguenti condizioni

intervallo chiuso